이차함수의 꼭짓점, 공식보다 먼저 볼 것

이차함수의 꼭짓점을 구할 때 공식을 먼저 떠올리기 쉽습니다. 하지만 꼭짓점이 왜 그 위치에 생기는지 이해하면 그래프의 모양과 최댓값·최솟값까지 함께 설명할 수 있습니다. 출발점은 어떤 실수의 제곱도 0보다 작아질 수 없다는 사실입니다.

제곱이 가장 작아지는 곳을 찾습니다

y = a(x − p)² + q에서 a는 0이 아닌 수입니다. (x − p)²는 x = p일 때 0이 되고, 그 밖의 곳에서는 양수가 됩니다. 따라서 그래프의 꼭짓점은 (p, q), 대칭축은 x = p입니다. p에서 같은 거리만큼 떨어진 두 x값은 제곱한 값이 같으므로 y값도 같습니다.

a > 0이면 a(x − p)²가 0 이상이므로 y의 최솟값은 q입니다. 그래프는 위로 열린 모양입니다. a < 0이면 제곱한 값에 음수를 곱하므로 y는 q 이하가 되고, 최댓값이 q입니다. 그래프는 아래로 열립니다. 이 설명은 x가 모든 실수를 움직일 때를 기준으로 합니다.

완전제곱으로 꼭짓점을 드러내기

y = 2x² − 12x + 17을 살펴봅시다. x가 들어 있는 두 항에서 2를 묶으면 y = 2(x² − 6x) + 17입니다. x² − 6x에 9를 더하면 (x − 3)²이 되지만, 원래 식의 값을 바꾸면 안 되므로 더한 만큼 다시 빼야 합니다.

y = 2(x² − 6x) + 17
y = 2[(x − 3)² − 9] + 17
y = 2(x − 3)² − 1

이제 꼭짓점이 (3, −1), 대칭축이 x = 3이라는 것이 보입니다. a = 2는 양수이므로 최솟값은 −1입니다. x = 2와 x = 4를 넣으면 모두 y = 1이 됩니다. 꼭짓점의 양옆에서 같은 높이가 나온다는 대칭성도 식으로 확인할 수 있습니다.

공식은 이 과정을 짧게 쓴 결과입니다

일반형 y = ax² + bx + c를 같은 방식으로 정리하면 꼭짓점의 x좌표는 −b/(2a)가 됩니다. 이 값을 원래 식에 넣어 y좌표를 구할 수 있습니다. 공식과 완전제곱은 별개의 방법이 아니라 같은 구조를 서로 다르게 표현한 것입니다.

스스로 확인해 보세요

y = −2(x + 1)² + 5의 꼭짓점과 최댓값은 무엇일까요? 답은 꼭짓점 (−1, 5), 최댓값 5입니다. x + 1이 0이 되는 x는 −1이고, 제곱한 값에 −2를 곱하므로 5보다 큰 y값은 나올 수 없습니다.